В этом разделе представлены стандартные таблицы функций распределения. Такое традиционное представление имеет свои преимущества перед вероятностным калькулятором (например, таким, который включен в систему STATISTICA), поскольку в таблицах одновременно представлено большое число значений, и пользователь может достаточно быстро исследовать большой диапазон значений вероятностей.
Z-распределение
t-распределение
Хи-квадрат распределение
F-распределение для:
alpha=.10
alpha=.05
alpha=.025
alpha=.01
Все приведенные ниже распределения рассчитаны с помощью функций STATISTICA BASIC и сверены с другими опубликованными таблицами.
Стандартное нормальное распределение используется при проверке различных гипотез, в том числе о среднем значении, о различии между двумя средними и о пропорциональности значений. Оно имеет среднее 0 и стандартное отклонение 1. На предыдущем рисунке динамически показана плотность распределения и соответствующие разным величинам значения вероятности. Дополнительную информацию о нормальном распределении и его использовании при статистической проверке гипотез можно найти в разделах Элементарные понятия статистики и Нормальное распределение.
Значения, приведенные в таблице, представляют собой величину площади под стандартной нормальной (гауссовой) кривой от 0 до соответствующего z-значения, как показано на следующем рисунке. Например, величина этой площади между значениями 0 и 2.36 показана в ячейке, находящейся на пересечении строки 2.30 и столбца 0.06, и составляет 0.4909. Значение площади между 0 и отрицательным значением находится на пересечении строки и столбца, которые в сумме соответствуют абсолютному значению заданной величины. Например, площадь под кривой от -1.3 до 0 равна площади под кривой между 1.3 и 0, поэтому ее значение находится на пересечении строки 1.3 и столбца 0.00 (и составляет 0.4032).
Таблица 1
Таблица 1
Интеграл от 0 до z
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.0
0.0000
0.0040
0.0080
0.0120
0.0160
0.0199
0.0239
0.0279
0.0319
0.0359
0.1
0.0398
0.0438
0.0478
0.0517
0.0557
0.0596
0.0636
0.0675
0.0714
0.0753
0.2
0.0793
0.0832
0.0871
0.0910
0.0948
0.0987
0.1026
0.1064
0.1103
0.1141
0.3
0.1179
0.1217
0.1255
0.1293
0.1331
0.1368
0.1406
0.1443
0.1480
0.1517
0.4
0.1554
0.1591
0.1628
0.1664
0.1700
0.1736
0.1772
0.1808
0.1844
0.1879
0.5
0.1915
0.1950
0.1985
0.2019
0.2054
0.2088
0.2123
0.2157
0.2190
0.2224
0.6
0.2257
0.2291
0.2324
0.2357
0.2389
0.2422
0.2454
0.2486
0.2517
0.2549
0.7
0.2580
0.2611
0.2642
0.2673
0.2704
0.2734
0.2764
0.2794
0.2823
0.2852
0.8
0.2881
0.2910
0.2939
0.2967
0.2995
0.3023
0.3051
0.3078
0.3106
0.3133
0.9
0.3159
0.3186
0.3212
0.3238
0.3264
0.3289
0.3315
0.3340
0.3365
0.3389
1.0
0.3413
0.3438
0.3461
0.3485
0.3508
0.3531
0.3554
0.3577
0.3599
0.3621
1.1
0.3643
0.3665
0.3686
0.3708
0.3729
0.3749
0.3770
0.3790
0.3810
0.3830
1.2
0.3849
0.3869
0.3888
0.3907
0.3925
0.3944
0.3962
0.3980
0.3997
0.4015
1.3
0.4032
0.4049
0.4066
0.4082
0.4099
0.4115
0.4131
0.4147
0.4162
0.4177
1.4
0.4192
0.4207
0.4222
0.4236
0.4251
0.4265
0.4279
0.4292
0.4306
0.4319
1.5
0.4332
0.4345
0.4357
0.4370
0.4382
0.4394
0.4406
0.4418
0.4429
0.4441
1.6
0.4452
0.4463
0.4474
0.4484
0.4495
0.4505
0.4515
0.4525
0.4535
0.4545
1.7
0.4554
0.4564
0.4573
0.4582
0.4591
0.4599
0.4608
0.4616
0.4625
0.4633
1.8
0.4641
0.4649
0.4656
0.4664
0.4671
0.4678
0.4686
0.4693
0.4699
0.4706
1.9
0.4713
0.4719
0.4726
0.4732
0.4738
0.4744
0.4750
0.4756
0.4761
0.4767
2.0
0.4772
0.4778
0.4783
0.4788
0.4793
0.4798
0.4803
0.4808
0.4812
0.4817
2.1
0.4821
0.4826
0.4830
0.4834
0.4838
0.4842
0.4846
0.4850
0.4854
0.4857
2.2
0.4861
0.4864
0.4868
0.4871
0.4875
0.4878
0.4881
0.4884
0.4887
0.4890
2.3
0.4893
0.4896
0.4898
0.4901
0.4904
0.4906
0.4909
0.4911
0.4913
0.4916
2.4
0.4918
0.4920
0.4922
0.4925
0.4927
0.4929
0.4931
0.4932
0.4934
0.4936
2.5
0.4938
0.4940
0.4941
0.4943
0.4945
0.4946
0.4948
0.4949
0.4951
0.4952
2.6
0.4953
0.4955
0.4956
0.4957
0.4959
0.4960
0.4961
0.4962
0.4963
0.4964
2.7
0.4965
0.4966
0.4967
0.4968
0.4969
0.4970
0.4971
0.4972
0.4973
0.4974
2.8
0.4974
0.4975
0.4976
0.4977
0.4977
0.4978
0.4979
0.4979
0.4980
0.4981
2.9
0.4981
0.4982
0.4982
0.4983
0.4984
0.4984
0.4985
0.4985
0.4986
0.4986
3.0
0.4987
0.4987
0.4987
0.4988
0.4988
0.4989
0.4989
0.4989
0.4990
0.4990
В начало
Распределение Стьюдента
Распределение Стьюдента
Форма распределения Стьюдента зависит от числа степеней свободы. На предыдущей картинке показано, как при увеличении этого параметра меняется форма распределения. О том, как t-распределение используется при проверке гипотез, можно прочитать в разделах t-критерий для независимых выборок и t-критерий для зависимых выборок в главе Основные статистики и таблицы, а также в разделе Распределение Стьюдента. Из приведенной ниже схемы видно, что в верхней части таблицы приведены вероятности получить значения, большие, чем указаны в соответствующей ячейке. Критическое значение, соответствующее вероятности 0.05 t-распределения с 6-ю степенями свободы, находится на пересечении столбца 0.05 и строки 6: t(.05,6)
= 1.943180.
Таблица 2
Таблица 2
Критические области для t-распределения
df\p
0.40
0.25
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.0005
1
0.324920
1.000000
3.077684
6.313752
12.70620
31.82052
63.65674
636.6192
2
0.288675
0.816497
1.885618
2.919986
4.30265
6.96456
9.92484
31.5991
3
0.276671
0.764892
1.637744
2.353363
3.18245
4.54070
5.84091
12.9240
4
0.270722
0.740697
1.533206
2.131847
2.77645
3.74695
4.60409
8.6103
5
0.267181
0.726687
1.475884
2.015048
2.57058
3.36493
4.03214
6.8688
6
0.264835
0.717558
1.439756
1.943180
2.44691
3.14267
3.70743
5.9588
7
0.263167
0.711142
1.414924
1.894579
2.36462
2.99795
3.49948
5.4079
8
0.261921
0.706387
1.396815
1.859548
2.30600
2.89646
3.35539
5.0413
9
0.260955
0.702722
1.383029
1.833113
2.26216
2.82144
3.24984
4.7809
10
0.260185
0.699812
1.372184
1.812461
2.22814
2.76377
3.16927
4.5869
11
0.259556
0.697445
1.363430
1.795885
2.20099
2.71808
3.10581
4.4370
12
0.259033
0.695483
1.356217
1.782288
2.17881
2.68100
3.05454
4.3178
13
0.258591
0.693829
1.350171
1.770933
2.16037
2.65031
3.01228
4.2208
14
0.258213
0.692417
1.345030
1.761310
2.14479
2.62449
2.97684
4.1405
15
0.257885
0.691197
1.340606
1.753050
2.13145
2.60248
2.94671
4.0728
16
0.257599
0.690132
1.336757
1.745884
2.11991
2.58349
2.92078
4.0150
17
0.257347
0.689195
1.333379
1.739607
2.10982
2.56693
2.89823
3.9651
18
0.257123
0.688364
1.330391
1.734064
2.10092
2.55238
2.87844
3.9216
19
0.256923
0.687621
1.327728
1.729133
2.09302
2.53948
2.86093
3.8834
20
0.256743
0.686954
1.325341
1.724718
2.08596
2.52798
2.84534
3.8495
21
0.256580
0.686352
1.323188
1.720743
2.07961
2.51765
2.83136
3.8193
22
0.256432
0.685805
1.321237
1.717144
2.07387
2.50832
2.81876
3.7921
23
0.256297
0.685306
1.319460
1.713872
2.06866
2.49987
2.80734
3.7676
24
0.256173
0.684850
1.317836
1.710882
2.06390
2.49216
2.79694
3.7454
25
0.256060
0.684430
1.316345
1.708141
2.05954
2.48511
2.78744
3.7251
26
0.255955
0.684043
1.314972
1.705618
2.05553
2.47863
2.77871
3.7066
27
0.255858
0.683685
1.313703
1.703288
2.05183
2.47266
2.77068
3.6896
28
0.255768
0.683353
1.312527
1.701131
2.04841
2.46714
2.76326
3.6739
29
0.255684
0.683044
1.311434
1.699127
2.04523
2.46202
2.75639
3.6594
30
0.255605
0.682756
1.310415
1.697261
2.04227
2.45726
2.75000
3.6460
inf
0.253347
0.674490
1.281552
1.644854
1.95996
2.32635
2.57583
3.2905
В начало
Хи-квадрат
распределение
Хи-квадрат
распределение
Как и в случае t-распределения Стьюдента, форма хи-квадрат
распределения определяется числом степеней свободы. На предыдущем рисунке показана его форма для различных степеней свободы (1, 2, 5, 10, 25 и 50). Примеры использования хи-квадрат распределения для проверки гипотез можно найти в разделах Статистики и построение таблиц в главах Основные статистики и таблицы и Нелинейное оценивание, а также в разделе Хи-квадрат
распределение. В таблице приведены критические значения хи-квадрат распределения с заданным числом степеней свободы. Искомое значение находится на пересечении столбца с соответствующим значением вероятности и строки с числом степеней свободы. Например, критическое значение хи-квадрат распределения с 4-мя степенями свободы для вероятности 0.25 составляет 5.38527. Это означает, что площадь под кривой плотности хи-квадрат распределения с 4-мя степенями свободы справа от значения 5.38527 равна 0.25.
Таблица 3
Таблица 3
F-распределение
является асимметричным и обычно используется в дисперсионном анализе. Такую плотность распределения имеют величины, являющиеся отношением двух величин, имющих хи-квадрат распределение, при этом соответствующее F-распределение определяется двумя значениями числа степеней свободы. На показанной выше иллюстрации показано распределение F(10,10)
. Первый индекс всегда соответствует числу степеней свободы для числителя, и этот порядок является существенным, поскольку F(10,12)
не равно F(12,10). В приведенных ниже таблицах в столбце показано число степеней свободы числителя, а в строке - число степней свободы для знаменателя. В названии таблицы указано значение вероятности. Например, критическое значение F-распределения для вероятности .05 и степеней свободы 10 и 12 находится на пересечении столбца с значением 10 (числитель) и строки с значением 12 (знаменатель) в таблице "F-распределение для alpha=.05": F(.05, 10, 12) = 2.7534.
F-распределение для alpha=.10 .
F-распределение для alpha=.10 .